Determinants

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■ Definition of Determinant

* determinant of 1 × 1 square matrix A = [a] is defined to be det(A) = a

Determinant는 n × n square matrix를 scalar 로 변환하는 mapping이다.  Square matrix A의 determinants를;

det(A),  det A, 또는 |A| 로 나타낸다.  (|A| does not mean the absolute of A here)

위 정의에서 A_1j 는 A의 submatrix로서 A matrix의 1번 row와 j번 column을 제거하고 남은 matrix이다.  위의 경우처럼 반드시 첫째 row를 기준으로 구하지 않고, 어떤 row나 column 을 기준으로 해도 됨.

예)

Matrix의 determinant 계산식을 minor, cofactor 개념을 도입해 단순히 표현하곤 하는데 별 의미는 없다.  손으로 계산하려면, row와 column 중에 0이 많은 것을 골라 이를 기준으로 확장하면 됨. Square matrix의 determinant 계산은 모든 선형대수 책에서 언급되기에 생략. 

■ Properties of Determinants

A가 square matrix 일 때,

a. A가 모두 0인 row나 column을 갖고 있으면 det A = 0

b. A에서 두 개의 row(또는 column)을 맞 바꾸어 B를 만들면, det B = -det A

c. A에서 두 개의 row(또는 column)이 같으면 det A = 0

d. A의 어떤 row(or column)가 다른 row(or column)의 multiple이면 det A = 0

e. If B is obtained by multiplying a row (column) of A by k, then det B = k det A.

f. If A, B, and C are identical except that the ith row (column) of C is the sum of
   the ith rows (columns) of A and B, then det C  = det A + det B

g. If a multiple of one row (column) of A is added to another row (column) to produce B, then         det B = det A.

■ Useful properties related to determinants

- A square matrix A is invertible if and only if det A ≠ 0   (which also says, det(A)=0 when columns (or rows) of A are linearly dependent )

- If A is n x n matrix & k is scalar, det(kA) = kⁿdet A

- If A and B are n x n matrices, then det(ABC) = (det A)(det B)(det C), and so on.  Beware that,

  det(A + B) ≠ det A  + det B

- For any square matrix A, det A = det A^T

- If A is invertible, then det(A^-1) = (det A)^-1

^{- If A is a Triangular matrix (upper or lower), the det A is the product of A's diagonal entries}