Multi variable 미적분 토막 연습 - 극한

Note on using polar coordinates when trying to get limits by Sudesh Kalyanswamy : 13S-32A-polar.pdf

■ Functions of Two Variables

Definition : A function of Two variables

Let D be a set of ordered pairs of real numbers (x,y). If to each ordered pair (x, y) in D there corresponds a unique real number f(x,y), then the mapping f is called a function of two variables x and y. The set D is the domain of f and its range is the set of values f(x,y).

A function of n variables is a mapping that assigns a unique real number f(x1, x2, ... , xn) to an n-tuple (x1, x2, ..., xn) of real numbers.

- When the function is given by z = f(x, y), the variables x and y are independent variables and z is the dependent variable.

ex) 

그래프의 모양은 x 축에서 ±5^1/2, y 축에서 ±5을 지나고 (0, 0) 점에서 높이는 5.  Range가 0이상, 5이하이기에 xy평면 위의 반 ellipse. 

■ Limit of a Function of Two Variables

Definition:                                                   (D가 (a, b)를 포함하지 않아도 됨)    

$f가\; 두개의\; 변수로\; 된\; 함수로서\; 그\; 도메인\; D가\; (a,\; b)에\; 한\; 없이\; 가까운\; 임의의\; 점들을\; 포함한다고\; 하자.\; 이\; 때$

$임의의$$어떤\; \epsilon \; >\; 0\; 에\; 대해\; 대응되는\; \delta \; >\; 0\; 가\; 존재하여,\; (x,\; y)\; \in \; D\; 이고$

|$f$(x, y) - L| < ε 가 되면

(x, y)가 (a, b)로 접근할 때의 $f$(x, y)의 극한값을 L이라고 정의하고

이라 표현한다.

* 간단히 표현하면,

임은 양수 ε를 아무리 작은 값으로 정해도 그에 해당하는 적절한 양수 $\delta 가\; 존재하여\; (x,\; y)가(a,\; b)로부터\; 거리가$
$\delta 보다\; 작으면\; (하지만\; 0은\; 아니고)$$f$(x, y)와 L간의 거리가 $\epsilon 보다\; 작게\; 됨을\; 뜻함.$

$(더\; 직관적으로는,$$f$(x, y)와 L간의 거리를 임의로 아무리 작게 하더라도 $충분히\; 작은$$\delta 가\; 있어$$(x,\; y)와\; (a,\; b)간의\; 거리가$$\delta 안에\; 드는\; 점들은$(0은 아니고)  모두   $f$(x, y)와 L간의 거리를 $\epsilon 보다\; 작게\; 만들기에,$$\epsilon 를\; 임의의\; 작은\; 값으로\; 축소시킬\; 수\; 있다는\; 뜻$)

아래 그림에서 (x, y) = (a, b)가 검은 점이라 (a, b)가 f(x, y)의 domain인 것 처럼 생각할 수 있으나 그럴 필요는 없다.  (a, b)가 f의 domain이 아니어도 limit은 정의된다.  그러니 f(a, b)가 f의 range가 아니어도 된다.  역시 single variable 에서와 같이 two variable에서도 (a, b)가 f의 domain이어서 f(a,b)가 f의 range내에 있고 (x, y) → (a, b) 시 f(x,y)의 극한값 L= f(a,b)가 (continuous case) 이 될 수 있지만 L ≠ f(a,b) (Not continuous) 이어도 L이 극한값이다.  (극한의 정의에서도 보듯이 극한은 연속, 미분가능 개념/조건이 필요하지 않다.  연속이 극한 개념이 필요하고, 미분가능이 연속이 필요) 

* 위의 2 variable 함수의 극한에서 (x, y) → (a, b)로 접근을 말할 때 어느 방향에서 한다는 말이 없다.
Single variable의 극한에서 x→a 시의 극한은 a의 왼쪽, 오른쪽에서 접근하는 경우만 따지면 되었음. Two variable 함수의 극한이 존재한다는 말은 (x, y) → (a, b)의 접근이 어느 방향에서 왔어도 그 경우의 (극한)값이 존재해야 하고, 그 모든  방향에서의 (극한)값들이 모두 같다는 말.  따라서, (x, y) → (a, b) 시 f(x, y)의 극한값이 존재하지 않음을 보이려면 서로 다른 두 방향에서의 극한값이 다름을 보이면 됨.

ex) 아래의 극한값이 존재하나?

* 2 variable (이상의) 함수에서 finite 극한값이 있음을 보이는 것은 때론 쉽지 않다. 어떤 방향에서 접근점에 접근하더라도 극한값이 존재하고 그 값들을 같음을 다 보이는 방법은 물론 써 먹을 수 없다.  모든 경우에 통하는 Multivariable 함수의 극한값이 존재함을 보이는 기계적인 방법은 없다. 극한값을 구하려는 함수가 접근점 부근에서 연속함수라는 것을 알면 쉽게 보일 수 있고, limit의 정의에서 시작할 때도 있고, 때로는 퍽 스마트한 기술이나 영감이 필요할 때도 있는 것이 그때 그때 다르다. 

Multivariable 함수지만, 내부 term이 single variable 함수식이면 그 term의 극한값은 그 (single) variable에만 좌우되는 특성 등 single variable에서 사용한 기술을 확장해 사용할 수 있는 경우가 많다.  예로 아래식은 참이다.

따라서, Multivariable 함수의 극한값을 구할 때 Multivariable 함수식을 가능한 간단한 (알고 있는) single variable 또는 variable이 작게 포함된 term들로 된 식으로 바꾸면 좋을 경우가 많다.   

아래는 참이다.

Provided that the limit of each individual function exist, then like in single variable case, the below is true in n-variable funtion

• The limit of a scalar multiple of a function is the scalar multiple of the limit of the function.
  
• The limit of a sum of functions is the sum of the limits of the functions.
• The limit of a product of functions is the product of the limits of the functions.
• The limit of a quotient of functions is the quotient of the limits of the functions provided limit of the denominator is not zero.
• The limit of a n'th power of a function is the n'th power of the limit of the function.

■ More on limit of a multivariable function

ex-1) limit의 정의를 이용해 극한값 구하기

ex-2) Using polar coordinate to find a limit

참고

- Multivariable 미적분 전반

- Khan on multivariable calculus 

- Multivariable 함수의 극한이 있음을 어떻게 아나? 기본 방법

- Multivariable Limit: How to show a limit exists.  Squeeze 방법 설명.  같은 함수를 앞에서 ε-δ 방식으로 보였음. Polar coordinate 설명.

- Polar coordinate transform의 의미는? 왜 쓸 수 있나? 잘 못 적용하는 경우

- Polar coordinate 변환을 사용할 때 : Polar coordinate의 θ를 따져야 할 때