극한으로 가면

후배가 "형, 0과 1 사이의 수가 1과 ∞ 사이의 수 만큼 된다고 어떻게 설명하면 될까나?"  글쎄...  "1과 ∞ 사이의 수들은 1/x 하면 0과 1 사이에 들어오잖아"  그렇지.  그 좁은 사이로 그 뒤의 그 큰 범위내의 수 개수 만큼 어떻게 들어가나?  1뒤의 모든 수를 1/x 하고 거기에 1 더하면 1과 2사이에 들어가고, 그 수들도 다시 1/x하면 다시 0-1 사이에 들어간다는 얘기인데...  계속 싸이클을 도네.  이런 것 closed form이 있나?  

고등학교에서 극한, e^x에 대해 배울 때 생각이...

문제는 f'(x)를 구하려는데 f'(0)가 오히려 필요한 점.  그런데  f'(0)에는 더 이상 x가 안보임.  f'(0)의 극한이 0/0 형태인데 극한값이 존재할까?  존재한다면 위 f'(0) 식에서 보이듯이 a에 따라 달라지는데,

f(x) = a^x 에서 f'(0) = 1인 a는 무엇일까?  위의 lim 식에서 단순히 h->0하면 0/0 이니 안되고, a를 변화시켜가면서 h에 아주 작은 값 ±0.000001을 넣어보면,

a=1 시   f'(0) ~ 0

a=2 시   f'(0) ~ 0.6931474

a=3 시   f'(0) ~ 1.098613

0+, 0- 양쪽에서 같은 값을 내어준다.  대충 a가 2와 3사이의 값이겠다.

a=2.7 시   f'(0) ~ 0.9932523

a=2.8 시   f'(0) ~ 1.02962

a는 2.7과 2.8사이의 값.  극한값 f'(0)이 존재하는 것 같다. 

a = 2.71828 시 f'(0) ~ 0.999963 이 되어 f'(0)가 1에 근접.  이 무리수이자 초월수 2.71828을 "Euler's number" 라 하고 'e'로 표시

따라서 f(x) = e^x  시 f'(x) =  e^x

*  e^x는 신기한 녀석.  미분이 자기 자신이래.  그래프에서 자기 높이가 기울기가 되네. 

*  log_ax 에서 a가 큰 수라도 x가 ∞로 가면 ∞가 되네.  어떤 점근선으로 접근할 것 같은데.  log_xx 에서 x가 ∞로 가면?  그냥 1이지.  x가 ∞시 log_xa, a≠∞ 는 0.    x > 1 시 ∞^x은 그냥 ∞?   

* 극한값을 구할 때, 왠만한 조작으로 아래와 같은 것에서 빠져 나오지 못할 때,

l'Hospital's rule을 썼다.  왜 이 식이 들어먹을까?   ln x / (x - 1) 같이 x->1 이면.  0/0.  indeterminate.  l'Hospital's rule을 쓰면 1.  x->1 이면 분자, 분모의 기울기가 다 1이네.  변화의 상대적 크기와 관계되는 모양.

* x가 ∞로 갈 때 e^x/x²  는?  위, 아래가 다  ∞로 가지만, 어느 지점을 넘어가면 e^x가 x²보다 훨씬 빨리 증가.  l'Hospital's rule을 쓰면 x가 ∞로 갈 때 식이 e^x/2 가 되어 ∞가 되고.  무한대라고 다 같은 것이 아니고 그 것들도 급수가 있네.  더 센 무한대는 domain에서 무한대로 갈 수록 더 약한 무한대보다 더 빨리 커지는 녀석. l'Hospital's rule을 한 번 적용했는데 계속 0/0, ∞/∞ 이어 판 가름이 안나면 계속 적용.  미분을 적용할 수록 변화량의 변화량을 올리면서 측정하는 것이기에 언젠가는 위, 아래 중 어느 녀석이 이길 지 알게 되기를 바라면서.   

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* limit값이 존재하고 값이 - 이네.  x/(ln x)가 x/(x-1)를 완전히 누르지는 못하고 조금만 더 세 -1/2 에서 타협.  두 term에서 numerator(분자)는 같은 x.  이 얘기는 x가 1로 가까이 갈 때 같은 위치라면 ln x 값이 (x-1) 보다 더 작은 값 (0에 더 가까운 값)이란 말.  말이 되나?