Implicit Differentiation

AI 수학 

■ Implicit (Partial) Differentiation

[Khan의 Implicit Differentiation]

대학 때 부터는 미분을 implicit한 방식으로 많이 풀면서도 엄밀하지 않은 방법으로 했다.   

Differential operation (operator 인가?)을 사용해 마치 dx, dy를 분자, 분모 같이 사용할 때는 부정행위하는 것 같고 께름찍하다.   

함수 생각 :

위와 같은 식이 있으면, h 라는 함수가 있는데 이 함수는 변수 x, y 에 좌우된다는 뜻임을 명확히(explicit) 나타낸다. 따라서 b, w, a 는 상수임을 안다.  함수 h에서 y는 고정하고 x 만 변화할 때의 미분은 

 함수 h에서  y만 변화할 때의 미분은 

하여 구한다.

그런데, 함수 h(x, y)를 종속변수 h 로 표시하고 위 식을 

 

같이 나타내면 좀 당황스럽다.  이 식만 주어지면 무엇이 변수고, 무엇이 상수인지 모른다.  게다가 이 식에 대해 어떤 미분을 하라고 하면 더 헷갈린다.  미분은 어떤 함수의 변수에 대해 적용하는 것인데...  그래서 이런 형태의 식에 미분을 할 때에는 이 식의 어떤 것이 변수이고, 그 변수가 다른 변수의 함수임을 암묵적(implicit)으로 가정하고 미분을 한다. 

위 식에서 h가 변수 x, y의 함수, 즉 f(x,y)라 생각하고 h의 x에 대한 편미분을 하려면 x에 대해 보통처럼 편미분을 하면서, 동시에 h가 x, y에 대한 함수니까 h에도 x에 대한 편미분을 chain-rule에 따라 적용해야 한다.  따라서, x와 h를 변수처럼 생각하면서 일반적인 미분 법칙을 적용해 미분을 해 나가면서 만약 h로 된 식 f 를 처리해야 하면 ;

의 chain rule을 적용해야 한다.  

■ 일반 방식 : 

F(x, y) = 0 과 같은 식이 있을 때, y가 x의 함수이며 미분가능하면 다음과 같은 chain rule을 적용해 y의 x에 대한 미분을 구할 수 있다. 

그런데 dx/dx = 1 이다.  그리고 ∂F/∂y ≠ 0 이면 

비슷하게,

F(x, y, z) = 0 과 같은 식이 있을 때, z가 x, y의 함수이며 ―즉, z  = f(x, y) 이어서 F(x,y,z) = F(x, y, f(x, y)) ― 미분가능하면 z의 x에 대한 편미분을 구하려면 chain rule을 적용해 

∂F/∂z ≠ 0 이면 

쉬운 예)  아래 식에서 z 가 x, y 의 함수라 할 때 (z = z(x, y)) z의 x에 대한 편미분은?  

또는 위의 공식 2)에 대입하여;

처럼 풀 수도 있다.

위의 

식에서, h가 x, y의 함수라 하고, 

▼ 또 다른 쉬운 Implicit Differentiation 예  (제대로 하는 법, & (기억이 안나는) 이상하게 하는 법)

y가 x의 함수라고 간주하여 ;

dx, dy로 모으고 우찌 이런 일이, 이렇게하면 안되는데...  

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Implicit differentiation으로 하면;

사이비로 하면; 

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z가 x, y의 함수라 간주하여;

또는 공식 2)를 이용해;

다른 Implicit Differentiation 연습 

다른 Implicit partial differentiation (음함수 편미분 연습)

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/PartialDerivatives.aspx